青年数学叢書 袭数和保角映兼 馬序府雒奇著高俄锋 中羽事王版池. 1S・北京 ==========第1页========== 序 这本小册子把复数和它的一些最簡單的函数（包括需科夫斯基函数和它在飞机翼型構造上的应用)介貂給讀者.彼述朵取几何形式。把复数看作有向綫段，把函数看作映象。为要引导藏者这样来理解复数，我們就从实数和它的运算的几何解釋开始藤起。这本小冊子是根据作者为九年殺和十年级同学作演講的稿子写成的。井不要求藏者先熟悉复数。 作者 A.N.MAPKYIIIEBNY KOMIIJIEKCHbIEYACJIA HKOHΦOPMHbIE OTO6PA州EHM 广OCTEXH3AAT MOCKBA,1954 ==========第2页========== 5L、622 送· (5> I:在作实数的几何表示时，我捫朵用了数轴，地就是 用一条直钱，在这条直，上給定一点A(就是坐标的原点) 表示数目0，父給定另二点B, 表示数目+1（图1）. 我們把从A到B的方向看 作数軸的正方向，把袋段AB 图1. 看作長度的單位。用任何筏段C来表示某一个实数心，它 的絕对值等于这个綫段的長。知果C和A不相重合（也就是 殺，知果数g不等于0)，邦末当从A到0的方向和辅的正方向一致时，心是正的，当这方向和轴的正方向相反时，x是负的。 2。我們把数軸上的任何筏段都看作有向畿段一禧韆上的向量。我們在每个向量上都分别出始点和憝点，就用从始点到終点的方向作为向量的方向。写出向量要用雨个字母：在前面位置的是始点，在后面位置的是怒点。每一：个向 量，不管它的始点是在什么地方（不一定要在A点），都表示某 一介实数，它的絕对值等于向量的長度。当向量的方向和轴的正方向一致时，这个数是正数，当它的方向和軸的正方向相 反时，这个数是負数，例如，向量AB(始点是A,然点是B) 表示数目+1，前向量BA(始点是B,怒点是A)就表示数月 49520 ==========第3页========== 1 3。向量的方向也可以用它和轴的正方向之間的交角来决定。要是向量的方向和軸的正方向一致，我們就認为这个角等子0°。要是它和軸的正方向相反，我們就認为这个角等于180°（或一180）。毁8是一个任意实数；知果心≠0，挪末表示这个数的向量和軸的正方向之間的交角叫做数x的幅角。很明显，正数的幅角等于0°，負数的幅角等于180°（或 一180°).数c的幅角記作：Argx(Arg是拉丁字rgumentum的前三个字母，argumentum在这里可譯作記号或符号)。致0不是用向量来表示，而是用点来表示的。虽然以后我們会把点看作向量的特殊情形·一長度是容的向量，但是在这种情形，我們既不能談論它的方向，也不能款豁它和数軸的交角；因此，数0就不会有任何幅角。 4。.我們現在来討論实数运算的几何解释。在这里，应当款談加法和乘法的解釋，从这里蛇很容易轉到逆运算一减法和除法的解釋。骰℃1和c2是雨个实数，4B1和AB2是表示它們的向量。·我們現在来寻找一条規則，根据这条規則，在 知道向量AB1和AB4以后，就可以作出表示数C1千C或乘 积cC2的间量。要想得到表示和数的向量A0,应骸把表示 第一項的向量AB1怎样办呢？ 容易証明，在任何情形，要想得到表示和数的向量，只須 在向量AB的格点放上一个就長和方向来競都和向量AB2 ~致的向量·B1C就可以了；向量AC也就是我捫所求的向量 (图2)。： 4 *. ==========第4页========== Cy +C2 图2 5。現在来討論乘法。果其中有一个因子等于0，那末积就等于0；在这种情形，表示乘积的向量摍成只有一个点。 現在假定沒有一个因子等于0。这时候乘积C1C2的絕对值0 就等子|C1·|c2l,也就是C1和2的絕对值的积。因此，表示 乘积的向量AD的長，就等于表示因子的向量AB1和AB2的 長的乘积。乘积G1C2的符号，当2>0时，和G的符号一致； 当c2<0时，和C1的符号相反。换句話說，AD的方向，当 Argc=0°（地就是C2>0)时，和AB1的方间一致；当AIgc2=180°（也就是c2<0)时，和AB:的方向相反.現在，我們就 不难回答这样的問题：要想从表示因子G1的向量AB1得出表 示乘积c12(C1≠0，C2≠0)的向量AD,应当怎样办呢？要想 与 得出向量AD:就应当用]】乘AB1的長（不改变向量AB1 的方向)，然后把已錾故变了的向量轉一个角，这个角等于c2的幅角（就是說，如果c2>0,轉0°；如果c2<0,就轉180）；得 80° D B 上A G253G=2 0G=15 3=C IC2l 图3. ①一数c的絕对值記作1c.例,15=5，「一3=3，{0=0. 5 ==========第5页========== 到的向量就表示乘积。在图3上，用例子(C1二1.5,2=一2) 来設明了这条規則 6。我們已經把直織上的每一个向量同这个向量表示的数联系起来了。現在我們来尉論季面上的各种向量，并且把它們也一个一个同它們表示的数联系起来。用这种方法得到的数一复数，是一种此实数更帶有普逼性質的数。实数只是复数的一种特殊情形，正如同整数是有理数的一种特殊情形、有理数是实数的一种特殊情形一样。 ·我們从这样开始：在我們要衬論的向量所在的平面上，引 雨条互相垂直的直綫一雨条具有公共原点A的数軸A心和 Ay,又設綫段AB是表示單位長度（图4）。这样，在軸A上或利轴Ax平行的任何一个向量，仍旧可以看成是实数的儿何 形象（几何表示）。例知向量AB和B,它們的度都等于一 个單位，并且方向和Ax的正方向相同，它們都表示数目1；向量CD,長等于2，方向和Ax的正方向相反，它就表示数目 一2。·不在A上，又不跟这个轴本行的问量，例知AE和FG, 不表示任何实数。这种向量我們說它們表示的是虚数。長短 算 相等、互相平行而且方向一致的向量，表示同一个虚数而長短不等、方向不同的向量，就表示不同的虚数、在这里，我們多少是搶先了一点，因为，还不 图4。 知道虚数是什么，就已經在款 ==========第6页========== 論它們的形象了；然而在生活里，往往也是先認藏形象然后再認酸本寶的。 ,1 上面我的已經指出，实数的运算可以用表示这些笑数的向量的运算来代替。同样情形，虚数的运算，我們也可玖用表示它們的向量的运算来代替。我不重新发明运算規划，却把已經找到的实数加法和乘法的儿何运算規則保留了下来。 不同的只是，在实数是用直钱A心上的向量（或者平行于这条 直綫的向量)来表示，而虚数却用平面上不在A上、也不和 Ac$行的向量来表示。 7。在往下剂論以前，我們要着重指出，实数（我們已經熟 ·藏了)和虚数（我們才只就“图象”知道它）都脚做复数(“复字是复合的意思)、 对照趣来，我們想到，有理数和无理数在合起来衬論的时候，也要求一个公共的名称：实数。 現在来討論复数的加法。我們假定实数师法的 規即仍旧有效。骰AB1和 孕 AB2是雨个向量，分别表 示雨个复数c1和c2要作出表示它們的和c?+c的 向量，我們从向量AB1的 憝点引向量B1O,長短和 方向都跟向量AB2一致； 图5. 速接AB1的始点跟B1C的憝点的向量AC，也就是所求的向 3 ==========第7页========== 量（图5）. 在这里新的一点是：我們把这条規則运用到了复数（在平面上表示出来的任何向量)的加法，而以前却只是运用在实数(在直綫上表示出的向量)上。 如果运用这条規則来作和数c+C1(加項交换了位置)的图形，那末就要从表示c的向量AB2的憝然点引一个向量，它 的長短和方向都跟表示C的向量AB1一致、显而易見，我刚 得出了同一点0（在图5上我們得到了一个本行四边形），因此，和数cg4c1跟和数C1+c2是由同一个向量AC来表示的。换句話說，从加法規則可以推出交换律的成立： Cg+C1=01+0g 很容易証明，桔合律也成立： (C1十Cg)+cg=C1+(3+C). 所有必要的作图都画在图6上。显而易見，把.Cs(OD)加上 C1+c(AC),正跟把c2+Cg(B1D)加上C(AB1)一样，我捫得 (C+C2l+C=C,(C2+C3l 3Cg G+02 3 g C 图8 ==========第8页========== 出了同一个向量AD 8.在轉到乘法以前，我們先把絕对值和幅角的概念搬用到复数上来。 設向量AB表示复数c。向量AB的長就呼做c的絕对值，前c的幅角就是轴Ax的正方向和向量AB的交角。这个角可以就反时针运动的方向针算，这时侯它具有正值，或者沿时针运动的方向計算，这时候它具有負值；此外还可以随便把它m上360°的任何整数倍。 跟实数一样，数目c B 的絕对值和幅角分别記 Ca 作：lc1和Argc。和实数的情况此較起浆，不同的 A65 是：虚数的幅角不等于0°和士180°，而实数（不等于0的)的幅角可以是0°（如果它是正数)或士180°（如果它是負数)。· 在图7上画了向量 图7， AB、AB1、AB2和AB3,它們分别表示复数C、G1、C和Cg·葭者很容易明下面的式子成立： Ic1=1011=1,Icgl=,Icsl=2; Argc=0°，ArgC1=90°， ArgC2=45°，Arg=-60(或300)， 9 ==========第9页========== 9。在】进复数的絕对值和幅角这雨个概念以后，我們就可以来款复数的乘法規則了。花字面上，它和相应的实数乘法規則是一致的：要用复数c2去乘复数c1(c1≠0，中0)，就必須把引cg去乘表示c1的向量的長（不变更这向量的方向），然后把已經改变了的向量繞A点轉一个角，这个角等于c2的幅角；得到的向量就表示乘积c12。例如，乘积c1C2是用向量 AD表示的（图8）， 而乘积c2Cs是用向 量A亚表示的（图 45o 9) 对于乘法规则，还必須加上 C Ca 点，就是当其中有 一个因子等于容的时候，乘积也等于 图8. 霁。 知果把乘祛規划运用在乘积c21(因子次序改变了)，那末，就应骸把表示c:的向量的改变引c1】倍，并且把已經改变的向量繞A点轉一个角，这个角等于c1的幅角。显而易見，得到的秸果和乘积c1≌一样：在这雨种情况，得到的向量的長都是{c1l·|cg|,而A和这个向量的交角都等于Argc1+ATg c2. 于是， C1Cg=℃2C1y 这就是，对于复数乘法，交换律是成立的。10 ==========第10页========== 出 、g2fC3l 60e B 图9. 同样地，待合律也成立： (C1C2)C8=C1(G2C3)。 事实上，所尉論的这雨个乘积，都是由同一个向量表示的影这向量的長是|c1|·|c·1ce,Ac軸和它的交角等于Argc1+Argc2+Argcs. 最后，我們来証明分配律成立： C+C2)Cs=C1Cs+CgCs. 在图10上，向量AB表示和数C1+c2;如果保持AB1和AB 的方向不变，把三角形AB1B各边的度乘以【{，就得到三角 形AK1L1,它和三角形AB1B相似。这个三角形由向量AK1、 K11、A工作成，这三个向量是从向量C1、C和(C+c2)把各边的長都变更|c{倍（方向不变）得到的。現在把三角形AK1L1德A点轉Agc度角；就得到三角形AKL.按乘法 11 ==========第11页========== Argc (C,+Cz)Cq& C2 C 图10. 規划，向量AK是表示c1C8,KL是表示c2C,L是表示(c1+c)cg.按加法規則，从这个三角形可以得到： C1Cg+CC3三(G1+c2)Gg 这也就是要証明的。 10。减法和除法运算，在定义上就是加法和乘法的逆运算.这威是說，如果有复数c1cg和d,而c1=c+d,也就是c1是c2跟风的和，那末我們就可以把d惧做c1跟cg的差，写作d=1一c2。把c、d和c1之間的这种关系用图表示出来（图 ,11),我們就可以看到，如 果把B2点（表示减数的向 量的憝点)和B1点（表示 被减数的向量的憝点)用 一向量連接起来，并且把前一点作为該向量的始 图11. 点，后一点作为該向量的 12 ==========第12页========== 憝点，就得到了表示差c1一C的向量。 同理，如果有复数c1、c(C≠0)和T,G=Car,也就是說，如果c1是c和T.的积（图12），我們就把？啡做c生和cg的商，写作=1÷2或=从这里可以推知，rI表示的向量的長是Agr笨于角 Arg r B2AB1,这个角是按照从 B 8, AB到AB1方向計算的 Arg Ca (在图12上，这个方向是順 Argc 时针旋轉的，因而这角应 Arg r 骸看作負角)， 我們来注意一些特殊 图12 情形。知果c1和c是由本行而且方向一致的间量来表示的，那末角BAB:等于0°，因而Arg=0°，也就是？是一个正的实数。知果1和是由平行但方向相反的向量来表示的， 那未角B2AB等于180°，？是一个負的数。： …总桔想来，可以就，复数的加法和乘法跟笑数的情形一样，适合于交换律、桔合律和分配律；而减法和除法地跟实数的情形一样，在定义上就是加法和乘法的逆运算。因此，代数学中适合于实数的一切运算规则和公式，根据运算的定义提到的規則，对于复数也应当保持有效。例如： (c1+c2)(c1-cg)=c18-C22,(C1)2=G12+2c1c2千cg2, 18 ==========第13页========== C1王CR=C1C4十C8C2, (c2≠0，c4≠0)等等。 C2 C4 C2C4 1。讀者在学习数学的时候，會經不止一次地遇到过数的概念的扩充（椎广）：在算术中引进分数时，在代数中引进負数，以及后来引进无理数时，就都是这样的。数的概念的每 -一大新的扩充，会使在当时还不可能解决或根本沒有意义的某些問题有可能得到解决。比如說，分数的引用就可以使两个数目在除数不等于零的所有情况下都可以相除，例如拿3来除4或拿6来除2；負数的引用就可以使减法在任何情况下都能够进行，例如从2减去5；无理数的引用就可以使任何筏段的長，和單位長不可通钓的，都能够用数来表示，例如边長等于1的正方形的对角餐的度。然而單只限于实数，我們就不能够开出負数的平方根了。现在我們来証明，别用了复数就可以解决这个問題。自然，复数￠的不方根（用符号√c表示)，我捫指的是某个复数化，它的本方（就是a的自乘）等于 c.换句萧說，u=√e就是a=c。設c是一个負数，例如c=一正；要想求√-1，我們就应当解方程2=一1，拿a来乘6，这就是說，先拿|a去乘表示a的向量的長，地就是先拿同样的長度去乘，而不改变，的方向；然后，把得到的向量繞 A点轉一个等于Arg的角。显而易見，求得的向量的長等乎}a2。但是，求得的向量应当表示数目‘一1；因此它的度等于 一个單位。于是，12=1，因而|a=1(向量的長永远不会是負的).再有，表示a2的向量和Ax軸的交角等于Arg+Arg=2Arg%;另一方面，2=一1，因而这个角应当等于+80°或-180°。所以2A1g%=士180°，于是Agu=90°或Arga14 ==========第14页========== =-90°。因此我們已經得到了雨个不同的向量 AC和AC',表示√-1的 雨个不同的值（图13）。向 量AC表示的虚数記作， 180° 叫做虚單位；我們有：|}=1,Arg元=90°。容易明 白，向量AC”表示的虚数 可以用-1乘飞的方法从得田.实际上，要用乘法規则来达到这个目的，就 图.18. 应当用1-1|一1来乘4C的度（因此，向量AC不变），然后戀 :4点轉一个角Ag(一1)=180°；得到了向量40。因爾，和这向量相对应的虚数是（一）或一1，箭写作一公。于是， -1=士。 2。我們現在来尉論Ay轴（或和它不行的軸）上的任意 向量4D(图14)。設它的長等于1。如果这个向量的方向和 Ay轴的正方向一致（在A心之上）那末它表示的虚数c可以用正数t乘得出因此，c=,或箱写作c=优。 如果AD的方向和y的正方向相反，那末数c可以用負数一乘得出（或者用U乘一i得出）；因此，在这种情形，6=(一)，，或簡写作c=一优. 由此可見，在Ay軸（或和它不行的轴）上的任何（長度不等于0的)向量，都表示士元形式的虛数，在这里，取+号或取 15 ==========第15页========== 一号，是由向量的方向跟划的正方向相同与否来决定的。由于这种原因，Ay軸斟做虚軸。 Ax轴所有的向量都表示实数，它叫做实軸。 我們現在来尉論不在任何轴上、也不和軸不行的任何向 量A'。照图15指示的作图 方法，我門可以把这个向量表示的数c表示成雨个别的数的和：一个由平行于Ax(或在Ax 图14. 上)的向量A'B表示，另一个由下行于Ay的向量BE表示。 但是，A'B表示某一个实数%，BE表示某一个瞳数航，因此 c=g+% 这样，我已經把虚数c用实数a和b以及虚單位表示 出来了。因为向量A'E和任何 軸都不平行，所以a≠0，b≠0.容易明白，平行于某一轴的向量表示的数，也可以写成类似的形式.就是就，如果向量和实轴本行，它表示的是&+0元形式的数，如果向量和虚軸本行，它表示的就是0+b航形式的数。 图15. 由班可兒，每一复数G都可 16 ==========第16页========== 以装示战￠=&4b航的形式，在这里，Q和b是实数，i是虚單位， 13。現在来总待一下。我們开始的时候用在同：一直钱上：的向量来表示实数，把实数运算化成向量运算以后，就使实数运算具有了儿何形式，然后我們把平面上的各种向量看成是表示更普逼形式的数一复数，这种数只有在特殊情况下（当 向量在A轴上或和轴不行时)才是实数把直畿上向量的运 算推广到不面上的向量上去，我們就引进了加法运算和乘法运算（然后是它的逆运算一一减法和除法），并証明，它們也服从和实数运算一样的規律。这时候，对于复数本身，我們知道的，只是它們都可以用向量来表示，井且任何雨个向量，知果長相等、互相车行、方向一致，就表示同一个复数，畏不等、或方向不祠，就表示不同的复数。我們証明；复数可以使一1开方，并且引人了虚单位i,它是√一工的雨个值中的一个（幅角是90°的那一个根的值)。最后，根据复数运算的規則，我們証明了，每一个度数￠都可以表示成c三g+航的形式，在这里，&和b是实数。 由此可知，c是由和航雨項組成的其中的一个一一a由实軸上的向量来表示，可以看作是实数a和实單位的积；另个一2一由虚軸上的向量来表示，可以看作是实·数b和虛罩位的积。复数的这种結構，使我們了解到，为什么所有这些数都做复数（就是复合数）的道理、 注意，我們把a训做数c的实部分，把即做虚部分。例灿，数c=3一2的实部分等于3，虚部分等子一2。 17 ==========第17页========== 14。知果用从同一点A开始的向量来表示复数c,琳末不相等的复数对应着不相同的向量，反过来也是一样：不同的向量对应着不同的复数。設c=+;那末表示数c的向量 AE的憝点，就具有横坐 标a和縱坐标b(图16)。 由此可見，如果表示数c二a+b航的向量的始 点落在坐标軸的原点A, 那末数a和就是这个向 p 量的愁点的坐标。朵取这 图16. 种看法，在儿何学上就不 但可以用向量来表示复数，而且还可以用点来表示复数。也就是每-一个复数G+%都可以用坐标是a和b的一个点E来表示，反过来也一样：坐标是'和b的点可以看作是表示复数a'+b'%的。图17上画的点、 E、E3、E4和E5,· 依次表示下列藷 9E6+1) 数：一1，，一，1+元，1-元。 以后为簡便起見，我們把复数本身以及表示它的点 Es(rI) E都啡做“点z”。 图17. 18 ==========第18页========== 例如，“点1+”是指复数1十⑦本身和表示它的点E4(图17)。 在女字里会看得出它表示的究竟是哪一个意义。但是：最好能养成习慣，不去思索这个開题，而把这雨个意义肴成同一个意义。 5。設2是某一个点。如果2加上了某一数，就得到新的点公=z+&。.显而易見，从点公轉变到点2，可以用移动(或搬动)向量的办法得出，也就是把点？沿向量的方向移动一个和这向量的長相等的距离（图18）。选取适当的，就可以得到点？的任何移动位置。例如，假使太？需要沿蜘 Ax的正方向移动一个單位，我們就取%=1；于是得到点'=2,+1。又，假使：需要沿轴y的負方向移动雨个單位，我刚就取6*一2；于是得到点2'=2+（-28)=2-28（图19）. 2 图18. 图19， 由此时見，加法运算=：+化在几何上就是表示点之移动 一个向量。 16。我們現在来剂論用某一个数c≠0来乘：的乘法运算。要用c乘z,就必須用数！c}去乘向量AE的忌（就是数 19 ==========第19页========== 】2),并且把得到的向量轉动一个等于Argc的角（图20）。前一个运算 Arg c 不改变向量AE的方向， PE，而只能变更它的長度.就 是說，如果【c|<1,这个 421 Icr 長度就縮短，知果lc>1 Arg 2 这个萇度就增大，如果 图20. c=1,挪末它就保持不 变、我們把这运算啡做把向量AE伸長到！C】倍。在这里 “伸畏”一詞是在附有条件的意义下来理解的；事实上，伸長只是在1c|>1时扌发生这时候，向量AB的長在乘过后，就加長到了1c!倍。但是，当cl=1(向量AE的長不变)以及|c1<1时（乘过后向量AE的長縮短），我們还是靓伸長。如果c是一个正的实数，邪末Agc=0. 在这种情形，轉动角度Argc,由伸良而得到的向量AE并不改变；因此，点E1就表示乘积z心。可以这样說，用正的实数&乘2，在儿何上就是表示向量AE(表示2的)伸長到c倍.变动c,可以得出向量AB的各种倍数的伸長。例如，要得到 雨倍的伸鬓，应骸用2乘2；要得到号储的伸長，应骸用导乘 2。 !果因子G不是正的实数，那末Argc就不等于容。在这情形，用c乘z就不只是向量AE的伸度，而且还要求把伸長了的向量繞A点轉一个Argc的角。因此，在一般情形，乘 20 ==========第20页========== 法运算2c既表示伸長（到|c倍），也表示旋轉(-一个Agc的角)。在特殊情形，当c的絕对植等于1时，用c乘？就只是把向量4E能A点轉一个Agc的角。适当地选取c,就可以使 AE糖过任意的角度.此知說要想使AE順正方向（反时 方向)轉90°角，那末就用莱乘；实际上，川=1，Arg元=90 要想使AE順負方向（顺时針方向）轉钻°角，那宋就用复数 c来乘z,这个c的絕对值等于，幅角笋子一45°。·靠图21的帮助，很容易求出这个数来，在图21上，画了一点 C,它表示数c.显而易見， 45和 C点的坐标是这样：心= 竖w=至，，因此，0要-号.由此可见， 2 乘 跟把（表示名的）向量AE 图21. 繞A点按負方向轉45°角是意义相同的. 17、我們已經看到，公式2'=名+a或2=c2把点2变到点之。現在讓我們来討論不是一个点、而是点？的一个无穷 集合，这个无穷集合粗成了某一个儿何图形P(比如說，是一 个三角形；如图22)。如果我們把公式2'=z+“应用到每一个点2，那未移动-个向量a,就可以从旧的点%得到新的点. 钠移动得到的一切点組成一个新的图形P'。显然，如果把整 个图形P作为一个整体，移动向量，我們也可以得到图形P。 数 ==========第21页========== 这样看来，利用公式 91 =2十化，不但可以变換一个点，而且还可 a 以变换整个图形（点 る 的集合)。这个变换就是把图形移动向量%，自然，新的图形和原来的图形是相等 图22. (重合)的 I8。我們可以把公式~三z应用到图形P的每一个点 上。知果C是正的实数，挪未在图形P上的每一个点？变换 成了新的点，而都在4点到点的射镜上，同时比省 (就是点2到A的距离和点z到A的距离的比)等于c.这样的变换，在儿何学上叫做位似变换，点和2叫做位似点，点 A脚做位以中心，数c即做位似系数。 位以变换的結果， 把图形P上一切点的 总集变换到組成图形 P的某些新的点的总 集（图23）。这个新的 图形卧作已知图形P 的位似图形。容易看 出，当P是一个多边形 图23. (例知三角形)时，位似 22 ==========第22页========== 图形P也是一个多边形，并且和原来的多边形P相似。要証 明这一事实，只要看图23上多边形P的一边C上的点在位 似变换时变到什么地方就行了。 知果点B变换到点B,点C到点C,邦末把B和C”用襞段 联结起来以后，我們就知道，三科形ABC和A'B'C是相似的 《有人公有，而爽约边相互废比例：号-=. 从这里就有边分C行于C,而且%-0，战K是边B0 上的一点；挪末射綾AK和B'C”相交于某一点K',三角形 低C和三向形KO也相似，于是就知，品=0，因 此点K'是点K的位似点（位似中心是A,位似系数等于c). 于是可以断言：在边BC上的一切点，經过位似变换，都变换 到了在边BC上的点；这样一来，边B'O'上的每一个点就会 是边BC上的某一个点的位似点。由此可見，整个筏段BC 是袋段BC的位似筏段。同样的推理应用到多边形P的所有 的边上，便可以知道，所有的边都变换到了新的多边形P的 边，而且对应边雨雨邓行，雨对应边長的此等于同一个数G: BC C'D D'B' BUCD DB=。 这样就証明了位似图形P和P'是相似的. 因此，用公式x=c2(c是正的炙数)不但能够变换一个 点，而且能够变换整个的图形P。这个变换是位似变换，它的 位似中心是A,位似系数等于c。如果P是一个多边形，邢末 变换到的图形P'也是多边形，且和P相以. 19。現在，我們假定公式2'=c2里的数c不是正的、首 23 ==========第23页========== ·:先設c=1、在这种場合，乘法运算就变成了把向且取簇点A旋轉一个等于c的幅角的角。果把这个运算应用到图形 P的每一个点？上， 那末结果就是把图形 图24. P繞点A旋轉Arge 的角。因此，用公式2=c2,其中|c=1,会使任何图形P变到图形P,P'是由图形P繞点A旋轉Agc的角得到的。例如，取c三i:因为Ag=90°，于是=z就是把图形繞点A旋轉90°。图24表示的就是經过这个变换的一个三角形. 如果在公式'二cz里，不m条件|c=1,而只韶为c是 一个复数（不是正数也不是零），那末图形P的相应变换可以 分作雨步来进行、，首先把它伸長|6|倍，結果就是把图形P 变换到位似图形P1, 然后再把P1德点A 旋轉Argc. .:·图25表示的就 是翘过以=2(1 =子，Arg号=90) 变换后的三角形P、 图25。 24 ==========第24页========== ，·20。在公式=名+a和2点c2里，我們可以把2看作自变数，把2看作函数、这就是最簡葡單的复变数2的函数。对于之用任何一个复数常数进行加法、减法、乘法、除法以及乘冪（可以看作是乘法的重复），我們就可以得到？的其他不同函数，例如： =,或2”=2+z+,或2=8等等. :所有这样的复变函数，都叫做有理函数，因为这样的函数是靠运用所謂有理运算（加，减，乘，除）得来的、有理函数并不能包括所有的复变函数；例如，也可以确定并且研究如下形式的函数：2=2,2=，2'=8inz等等。但是在这本書里，我們只限于談有理函数，而且是最簡單的有理函数、 21。我們已經看到，函数之=公+a或2=2都相应于平面上图形的一定的儿何变换。这也就是就，如果变数之跑过图形P上的点，函数=2+a就跑过图形P上的点，图形P'是从P移动向量g得来的；函数2”=C2就跑过图形P'上的 点，图形P'是从P作系数等于||的位似变换、再繞点A旋 轉AgC得来的。因此可以說：函数一z+化产生移动变换，而函数？=cz产生位似变换和旋博变换（如果c是正的实数，那未作的是一个位似变换多如果【c|=1而c≠1，那末作的是 一个旋轉变换)。.現在就发生了这样的問题：关于其他的复变函数特别是有理函数产生的变换可以說些什么呢？这个問題將在本書的后面加以尉論。为了使讀者明确做这一个工作并不是无聊的，我們就在这里先告新讀者，由有理复变函数产生的变换，是多种多样而且富于儿何性質的，同时却具有某种普 25 ==========第25页========== 逼的性質、这就是設，虽然經过这种变换，图形的形状种大小 一般說来是改变了，但是所考虑的图形的任何雨条畿間的夾角大小不变四. 当函数是=2+a或2=2这雨个特殊情况时，在变换得的图形里，角的不变性是直接由于我們討論的是移动变换、位似变换或旋轉变换的綠故。很有趣，这种現象也发生在任何有理复变函数所产生的变换中，并且也产生在其他的更普通而复杂的复变函数所靜解析函数中。`但是关于解析函数，这本小冊子是不可能討論了。 22。在儿何变换中，在变换得的图形里任何雨条綫之間的夾角大小不变时，这种变换就叫做保角变换，有时也叫做保角映象， 上面論的位似变换和旋轉变换，都是保角映象的例子。下面我們再来举一个别的例子。現在还要畿明，保角映象的定义要求的就是：在研究的图形里，任何雨条筏之聞的夹角是保持不变的、我們来討論紧靠在蜘 Ax和Ay上的正方形ABOD 图26. ①严格說来，在这里可能有个别的点，以这些点作頂点的角是政变了，缙加到二倍、三倍或一般說来培加到整数倍.但是，这样的点只是这个一般規的例外。 26 ==========第26页========== (图26)。現在把它变换一下，使在变换得的图形上各点的横坐标不变，縱坐标y加倍。例知，点K变换到K',点L变换到'。如果我們把正方形上所有的点都这样变换一·下，那 末正方形ABCD显然就变到了長方形ABC'D',这个長方形 和原来的正方形有公共底边，但是高等于原来的雨倍。这时 候，边AB变换到它本身(AB上的一纫点都保持原位，因为这 些点的樅坐标是容，霁的雨倍还是容)，AD变换到AD',DC 变换到DO',BC变换到B0?。当然，雨边的灰角，原来它們 是直角，因此仍保持直角，这也就是說，角保持不变。但是，我 們考察正方形的边AB和对角 畿AC的夹角B.AC(图26)；这 个角等于45°。变换的黏果， AB保持原位，但是直筏AC 变到了直钱AC(为什么？)。 因此，再B4C变到了另外一 :个（大一些的）角BAG)这也就 是說，角并不是保特不变的。 如果我們不考察角BAC,而考 察以正方形ABCD里任意一点 图27。 Q为頂点的角P20(图27)，那末也很容易证明，錾过这种变 换，这个角是改变了。 从这里可以得出以下的桔論：虽然四边形ABOD本身的 叫个角經过这种变换后沒有改变（它們仍保持直角），但是这 种变换井不是保角变换，因为在ABCD里面任何一点上作以 7 ==========第27页========== 这个点为頂的角，这些角在变换后是改变（增大）了。 23、为了往下討論，我們首先需要使藏者明了，两条曲綫 QR和QP相交于点Q时（图28），对这雨条曲織的水角应骸 怎样来了解。 在曲畿QP上取点日以外的任意一点Q1,引弦QQ1.闹 样地，在曲綫QR上取点Q以 外的任意一点Q2,引弦QQ2. 角Q1QQ2的值可以看作是曲钱 角PQR的值的撕近值。·当点 Q1和Q2越接近点Q时，弦就越 凑近曲篯QP和QR在点Q附 近的一段。因此角Q1QQ2可以 看作是跟这雨条曲筏間夾角的值越来越接近的渐近值。如果 图28。 点21沿曲钱QP移动，点Q2沿 曲筏QR移动，井且都无限接近点Q,那末弦Q21和QQ2就会 繞着点Q轉动，逐渐趋近极限位置QT1和QT。射筏QT1和 QT2,比从点Q所作的其他射箴，更凑近在点Q附近的雨条 曲筏。这雨条直綫叫啡做曲篾QP和QR的切钱，它們的灰角 T1QT2就是曲餐QP和QR在Q点的夹角。因此，雨曲綫相 交于某一点，所謂雨曲綫的夾角，就是在交点作出的雨曲綫的切綫的夹角。 这个定义也可以应用于一条曲筏QP和一条直綫QR相 交于一点Q所形成的角（图29）。散QT1是QP在点Q的切 28 ==========第28页========== 綫。为了引用定义，应該把 滇筏QR换成这直綫的切 綫。但是很容易知道，直綫 Q QR的切綫就是直綫本身。· 事实上，为了引一弦，应骸在 QR上取点Q以外的任意一 图28. 点Q1,然后联起Q和Q.显然，这条联綫仍旧是QR.知果 Q逐渐接近Q,上述的弦却保持不变。因为切筏是弦的极限 位置，所以切織仍然是直筏QR。因此，应該把曲筏QP和直 篾QR間的夾角了解作曲筏QP在Q点的切綫QT1和原直餐 QR間的夾角。可能有这样的情形，直畿QR就是曲筏P的 切襞（也就是QR和QT'1重合）；这时侯QR和QP的夾角就 变成了弄。于是，曲筏和从点Q所作的切筏間的夾角等于睿。 24.保角映象有很多用处。例如，在地图的制图学中就要用到它。 每一幅地图，都是把地球表面的一部分街袖到不面上（一張紙上)。描箱时，大陆和海洋的輪廓多多少少要受到歪曲。·護者容易相信，如果不允許有伸長和縮短、不允許有破裂和移紋，那末就不可能把一块块的球面（例如丘乓球的被壳）压放在一个平面上。由于同样的餐故，不允許改变比例因而也不允許改变形状，就不可能把地球表面（以后可以把它看作球面)描检在平面上，这也就是說，不可能制成地图。但是，可以这样来制地图，就是使地球表面上的任何雨直綫間的夾角大小不变。. 29 ==========第29页========== 假使要制-一幅北牛球的地图，在这幅地图上，地球表面任何雨方向間的夾角大小都要画得和原来 一样。为了表現得显明，我們可以这样作：散想地球是任何透明材料，北如說是玻璃形成的，除了北中球的大陆的周界、国家和海洋的周界以及經緯綫以外，其他地方都涂上一层不透明的顏料。此外，可以把以北牛球上任何-一点作頂的 任意角PQR的边（曲畿）保留，不 涂不透明的顏料。如果在地球的南极放一个叉小又亮的电灯，而在 图30. 地球的前面和地軸垂直的方向放一幅銀幕，那末在一間黑屋子里，我們就可以在銀幕上看到北牛球的地界图（图0）。可以用几何方法証期，在这样的地图（作极射赤面投影图）上，北华球上任何雨条織間的夹角大小都表示得和原来一样。特 别是角PQR表示得也和原来一样太、 25。上面我們敍远了怎样扌可以画成.一幅所有的角都保持原来数值的北牛球地图。如果不把发射光綫的光源（电灯）放在南极，而放在北极，那末就可以用同样的方法得到南牛球的地图，并且使南牛球上所有的角都保持原来的数值。用上述方法得到的每一幅地图，都是平面图；如果再把这不面图作 一炎保角映象，它就变换成一幅新的图，这幅新图仍引旧可以看39 … ==========第30页========== d6d10'3020 20 60 图31. 作是一幅地图。因为經过保角映象后角是不变的，所以在新的地图上地球表面任何两方向間的夾角仍保持原来数值。图31左边的地图是格林蘭的极射赤面投影图，右边的是把左边图上每一个点經过下列变换公式而得到的： 2'=logelz|+元Argz。 这里作对数的底数的就是所謂納氏数e=2.71828…,而 Ag:不是用度数来計算而是用胍度来計算的. 毫无疑間，这个公式，一看就知道是很复杂的、特地造作的。在这里我們不可能詳細地去研究它，也不可能去驗証出这个公式产生的变换的确是保角变换。我們只能說出，用这样的公式来输制成地图，大約是四百年前荷蘭学者麦卡托首 31 ==========第31页========== 倒的。直到現在，这种地图在航海中仍引旧广泛地流行着。这利地图比极射赤面投影图好的地方就在：图上不但經綫是直綫，而且緯筏也是直筏；还有，地球表面上的任何路筏，凡是順着走时罗盤指方向保持不变的路綫（所謂斜航镜），在图上也被画成了直綫。 26。保角映象最重要的应用，是在物理学和力学問题力面.在許多問題里，例如討論到一个帶电的电容器周圍空閒中 一点的电位，或者衬論到一个加热物体周圍的溫度，剂論到液体或气体花某一个渠道内繞流过一个障得物时液流或气流里微粒的速度，都需要会計算电位、溫度和速度等等。如果碰到問題里的物体形状特别簡單（例如成不板状或圓柱状），解答这类問題就沒有多大困难。但是还有很多其他情况，也需要会做这种計算。例如，在制造飞机的时候，必須会算机翼周闽气流里空气微粒的速度①. 机翼的横断面（冀型）如图322所示。其实，当被繞流过 (8 图32. ①飞机飞行时，空气微粒和机翼当然都在运动、但是，根据力兰的定律，珂以作为这样的情形来研究：假骰礼翼不动，控气却在机翼周醒说过。· 32 ……… ==========第32页========== 的物体的横街面图是一个圓时（就是說，物体本身是一个圓柱时)（图326），計算速度就特别筋單. R 由此可見，为了把繞流过机翼的空气流的速度問题变换成簡單的簇流过圓柱的問題，只要用保角映象把图32a的图形（翼型的外周）变换到图326的图形（圓的外周）就行了。这种样子的映象，可以用一定的复变函数来实現。知道了这个函数，就可以把繞流过圓柱的气流的速度换算到繞流过机强的气流的速度，因此，提出来的間题就完全解决了、 同样地，用保角映象可以把任何形状（任何横断面）的物体的研究里有关計算电位和溫度的問題变换成最簡單的情形来解决。然后用那个实現保角映象的厦变函数，把转果反过来轉算到原来的帶电（或帶热）的物体的周圍空間去. 27。土面講到的关于保角映象在制图、力学和物理学問題上的应用，我博沒有作出証明。在这本善里，我們不可能作証明，因为要了解它們，激者就必须具有在高等学校里才能講授的知識. 从这里直到本者的末了，我們要尉論最簡单的有理函数，用这些函数可以实現某一些保角映象。我們要談到的函数就是：(1)公-二8（所阴餐性分式函数）；(2)2=(3)2”-名〔：中子).最后一个图数是以著名的俄罗斯学老尼古拉叶 果罗雜奇儒科夫斯基(1847-1921)来命名的，列宁很公正地把他称为“俄罗斯航空之父”。这个函数呼做儒科夫斯基函数，因为儒科夫斯基很成功地应用它来解决了一些飞机的理論間題；特别是他說明了，利用这个函数可以得到某些具有理 3 ==========第33页========== 尼古拉·叶桌爱雄商·儒科夫斯基(1847-1921)他在飞机的}算里，广泛地应用了复数和保角映象 ==========第34页========== 論和实用价值的飞机翼型图. 关于这个儒科夫斯基函数的应用，我們下面还要講到。28。先从綫性分式函数鲁二講起。在这里，和是啊个不相等的复数。我們来明：用这个函数，可以把每一个經过点a和b的圜弧PLQ变换到由坐标原点发射出米的某 一射筏P'工'，并且这一射钱和正实軸的夹角等于方向bN和圓弧在点化的切餐的爽角（图33）.' 图33. 設点？在弧P[Q上（图33左方），藤我們明，它象（也 就是和它对应的点=二分)一定在射钱P'工上（图33右方）. 要作出向量2'，必須知道这个向量的長(z)和这个向量对正实轴的傾斜角(Argz)。但是，2是雨个复数2一a和名-b的南，而表示z一和z-b的是向量PR和R。于是21 怎二，而Ag等于角SPR(向量PS和响量QR笨发而且 方向相同，計算方向是从PS到PR.显然，SPR=QRPD,因 面它等于圓孤QMP的一牛。而角NPT也等于弧QMP的 ①記号ABC装示角ABC. 35: ==========第35页========== 一牛.于是Arg=SPR=QRP=NPT=p.由此可知，在 圆孤P1Q上任何地方的点，它的象点公一二号都具有相同 的幅角p。这就是設，圓孤上所有的点的象都在和正实轴成倾斜角p的一条射畿PL'上。 如果PL不是-一个圆班、而是一段直钱PQ,这个桔論仍 然是对的：这时候，应該把角p看成等于180°，射畿P'和負实軸相重合（图34）。事实上，如果z是钱段QP上的-一点，邪末表示？一和？一五的雨个向星的方向聊巧是相反的。因此知道，商=一二是負的实数，也就是說x在负实軸上。 a-b 9=80° a 80e 图84. 我們已經証明了，圓孤P工Q的所有的象点都在射綫PL' 上。但是，这些象点是占滿整段射綫P''呢，还是在P'上 有不是圓弧P工Q上任何一点的象点呢？現在護我們来証明： 象点是占滿整段射殺的。 先来看看点P(原点)这个点是点P的象点，因为当= a时，2=二8变成零.在射餐PL上任取一点z(图35)，但 不取P(也就是z≠0)。显然2不可能是正的实数，因为射缓 PL'不和正实軸重合。 把z看诈未知数，从方程=二号求解便有z一2b36 ==========第36页========== g-a,由此得7-.所以对于PZ上的每个点，可以找到唯一的一个值z,使z-二这也就是說是z的象点。 但是点的位澄在哪里呢？是不是可能z不在弧P工Q上？我 們款，这是不可能的。首光，点”不可能在钱段PQ的延袋上 (就是在畿段PQ以外)。否則复数z一和z一b就会有相等 的辐角，？号就会是一个正数。現在假殿不在PQ的 延钱上，过P和Q作一个圓弧，并且使圆弧經过？（要是之 在綫段PQ上，那就不用作圍弧而应該取钱段PQ)、設所作 的圓胍是PL1Q;因为它和PLQ不重合，所以这个圓弧在P点 的切綾将和方向aN形成夾角p1不等于p(图35)。因此点 图36. 名的函数公=名二4的值一定可以用射钱PL1上的点来表示， 2-b 射綫P'L1'和正实轴成傾斜角91，因此知道P'L1'不和PL'重 合。我們发現了-一个矛盾，因为得到的粘論是：除点P’以外 的点z一定在射餐P'上，也在P'L1上。所以我們証明了， 在P工上的每一个点z只是一个点z的象（公=二，面且 ?在弧P工Q上。由此可知，如果点2跑过了射綫P哪末 从公式：=二。决定的和2对应的点z就要跑过PLQ. 3 ==========第37页========== 最后讓我們証明：当点名順着P到Q的方向画出圆弧 PQ时，象点z就会順着从点P远去的一个方向画出射筏 P'。为了达到这个目的，只須証明：当点z作上面規定的 动时距P디=는=품（图33） 增大而趋向无穷。但知9+a+B=180°，因面3一180 -(a+p),sin B=sin (a+p)=sin a cos o+co3 a sin, 吸 PR=2'=sin a eos cosa sinsin a -=cogp+sin metg a。 当点2順着弧PLQ从P向运动时，角a的值从180°-p逐惭减小到零，而角p的值不变.因此，ctga的值是从一ctgp的值增加到+o,|2|=c0sp+ctga sin单也-一样会增加（因为sinp的值是正的)，并耳从cos p一ctg o sin o=0增m到 29。我們来研究一个任意圓P汇M,它經过点而不經过 点b(图36)。設圓在点a的功钱和baN方向形成的角等于p.作一个怒过点和点b的辅助圓，使这个围在点亿的切筏和"N方向成p+90°角。这个輔助園和原来的圓相交于某一点；把这个点所表示的复数記作c。我們来証明，函数'= 二名把圈PLH变成一个以筏段PE作直征的圆P"近'， 点P表示的是复数0，点E表示的是复数c'一。二名（图$6）. 因此，圓P'M在点P的切綫和实軸正方向的发角是9. 因此，我們打算証明，PIM上每一点z的对应点2=二言必定在圓P'LM'上，并且点0和c-c二a是圆PI'M'的一宜徑的雨端点。显然，只要証明，从每一点=合二（設2在 PL,M上)来看綫段P',所張的税角都是直角，也是說，年 38 ==========第38页========== 904 +B -U 90* R + 9 (a) (60 图36. .R'P'等于直角①。但是，角ER'P'是表示度数一c的向量'孔和表示复数z的向量PR'形成的；这个角度等于 角SP'R(向量P'S和向量E'R方向相同，度度相等)，角 ”S"PR'的方向是从PS到PR的。角SPR等于gza 因此，我衡威兴趣的角P五也等于复数。的帽角，也 ◆ 就是滤，∠PR'EArg兰。.变換式子，用8来代替'，用二a来代替'。得到： 0一b 志 7()-*용八zmbc-b3ーb(z-b)(c-b) 3—g a-” b一cb 在这里，二2”，吕-b机.显然，”地是的藏性分式函 1. ①因为，从平面上某一点来看一个钱段，如果所脹的靦角是值角：那来这 一点必在以該钱段作直径的圍上. 9 ==========第39页========== 数.这个闽数"一8和我們原来的函数2名的差别， 只是把点c换成了点b。对于这个新函数，可以应月第28节已經获得的秸果。这就是說，如果点？在联結a和c的圓胍 为 上，那末点”就一定在从坐标原点出发的射綫上。这时候，如果圓弧在a点的切綫和cwU方向相交成某一角a,那末对 应的射綫和实軸正方向也相交成角Q;换句話說，就是2”的幅 角等于a、因为点z在經过点a和c的圓弧PL配上，这个圓弧的切綫PT1和cmU方向的交角等于B+9(图36)，所以无箭之在孤PLE的什么地方，复数z"=二的幅角都应骸等 于B+P。另一方面，点b在联结点a和c的圓弧PVE上.这个圓弧在点a的切篾PT和CxU方向的交所是(B+p)-90°(这个角的絕对值等于90°一(B+P),但是从图36a可以看出，在我們考意的情形，这个角的轉动方向是负的，因此应骸加上负身)：因此，镬性分式函数二在z二五时的值，也就是复数b”-?。,应蔽用射镜上某一点来表示，这条射镜从坐 标原点射出，和实轴正方向的交角是(B+)一90°，也就是 說，Arg3"=(B+p)-90°. 回想一下，我們要求出的角是： PRE'=Arg2e· 我衍已辍求用，号六H Agx'=B+p,AIgb"=(B+p)-90°多 从这短可以檐出，Ag影=90（图7），以及 PRE'=Ag言。=Ag-0. 的 ·-ー-· ==========第40页========== 因此：从每一个点✉二。来看機段PE',所張的藏 角都是直角。这就說明了，点z'在以綫段P作直徑的圃 $ P'I'M'上D. 还必須說明，这个周在P点的切筏和实轴正方向相交成 角P。为了說明这一点，只要証明，直徑P”和实轴正方向的 交角等于p+90°。后一个 ● 角等于Agc'=Argg二g, c-. 但是点c在联桔点a和b 的圓弧PEQ上。因为这 90 个弧在点a的切綫和bzN方向成角0°+9，所以点e' 90°(p* 一二应孩在和实辅正方 向成交角90°+中的射綫 b 上，就是ArgC=90°+p, 图37. 这正是需要証明的， 30。作为一个例子，我們来說明图38左方阴影綫部分， ◆ 用函数=十}作映象以后，將变成什么样子.这个阴数具有形式二号，这里=1，b=-1.因为弧P1Q过点1和 一1，井且在点a=1和方向QPN相交成角P,所以根据第28 ①在証明时，我們取在弧PDE上的点2这时对应点之落在半圆P 上.如果取在弧EMP上的点2，証明井没有改变；只是要注意，这个圄孤在4点 的切钱方向和PT1相反.这就是表示，Arg21不等于B+p而等于B+中~180°. 因t,得到PEE=Agz二。的信是(B+p一180)-(B+P-90)=一90°. 这相当于点2在华MP上. 41 ==========第41页========== 节的粘果，这个弧將变换到从坐标原点开始并和笑轴正方向 相交成角的射钱。弧PMQ也是联待1和一1雨点的圓弧，不 过它在点，=1和QPN方向的交角是p一180°（这个角的絕对值等于180°~p;但我們鄉道这个角是按順时针方向轉动 的：这欧是就，它的方向是负的)。因此，函数2一+子把凝 PMQ变换到从原点开始并和实軸正方向相交成角p一180° 的射綫PM.显然，射綫PL和P'M”合成一条直畿；因此， 函数口'=把薮个阅周PLQM(由燕PR和置PQ翻 战)变换到整条直綫MP'. 通过点P和Q作一辅助圓弧，使这个在点P的切餐和 QPY方向成角p+90°。这个園孤和圆周PRS相交于点E, 捉据第28节的精果，弧PEQ被函数2=骨变换到从点卫 出发并和实刺正方向成交角g+90°的射籛。这样，点就 变换到这条射钱上的一点E’。根据第29节，圓周PRES用 面数2=姿换到以镬段P'四作直的圈周Pg. 于是，桔果圆周PQM变换到直綫MP工'，而内切于前 80 8 42 ==========第42页========== 一个圓周的圓周PRES变换到和直袋M'P相切于点P 的圓周P'R'S'.是不是可以認为，把图上阴影部分用函数 =吊来变换的問照已都完杂解决了呢？不，問題还？有 彻底解决：我們已經解决的只是这部分的边界的变换，还需要 知道在圓PRES和PLQM内部各点的变换情形。 为了搞清楚这方面的情况，我們得注意，图上阴影部分可町 以用和PLQM相切于点P并处在PRES和PLQM聞的圓 周来填满。这种圓周和弧PQ相交于在点E和点Q之間的 一些点。在图38上，用虚綫画出了这种圓粗成的无穷圓集合 中的三个圆，它明和弧PEQ相交于点1、形2和乃$，果我 們知道这些圆用面数变換到什么豳餐，那末我們对 于由这些曲綫塡滿而成的图形就可以想象得出、而这也正是原图形經过变換以后所得到的图形。 但是，根据第29节的結論，圓周PR1ES1变换到圓周 P'R1'E1'S1',圓周PR2E2S2变换到PRgE'S2',等等 0 在第28节末尾，我們指出，当点2順着弧PQ逐漸接近点 Q时，它的对应点2就順着以P'作始点的射殺离开点P越 来越远。由此可知，如果点E2比点1更接近Q,邢末点E生 在射畿上的象点E公比E1的象点E1离P更远。因此，圓周 PR2E2S的象圓P'R2'E2'S2'的直徑PE2'就比圓周PR1E1S. 的象圓PR1'1'S1'的直徑PE1'更長，这在我們的图上就已 經表示H来了，如果取圓周PR:召Ss,使它和弧PQ的交点分接近点Q,邦末我們可以得到，它的象PRg':'S具有尽可能大的直徑、·显然，填满图38左方阴影图形的圓周 得 ==========第43页========== PB1E1S1、PR,S2、PR3ES8等的象圓，将塡滿图38右方 的阴影图形。后者正是原来图形用衡数z=名二 之47变换以后 所得的象。因此，函数=把雨个阅用包园成的图形（图 38左方)变换到以一直餐和一圓周作界袋的图形（图38右方）. 3引。現在我們来討論用函数2'=22所作的变换。在第26直的注里，我們已經預示藏者，对于用有理两数所作的变换，保持角度不变的規律可能出現例外。这就是說，以某些例外点作頂的角，經过变换以后，可能变大了若干倍。在現在討論 的这个情形，就有这种例外点；它就是原点A。我們設，所有 以A作頂的角，用z=z2变换以后，都变成了原来的雨倍 取由A点出发、和实轴正方向相交成角p的射袋AM(图 图39. 39).对于在这条射筏上的每一点2，Argz=9.因为向量=z2=2名是把向量z伸長到|z|倍并把幅角Ag2=φ扩大到雨倍得到的，所以2}=12·|2|=z,而Arg2=Ag3+Argz=2迎。因此，点z一定在从点'出发井和实轴正方向相交44 ==========第44页========== 成角2p的射餐M'上。如果点z順着AI从A点无限远 璃开去，邪末对应点2將順着'M从点无限远离开； 这时候，点~到点A'的距璃始憝等于点z到点A距离的不方(z1=z2). 由此可知，函数z=2把射畿AM变换到射袋4'M',并 且'1'和A''轴的頫斜角等于AM和A轴的傾斜角的雨 倍。 容易想兒，和Ax軸相交成角p+180°的射袭AP(AM 和AP在同一直綫上)，地用函数2'=3变换成射袋M'。事 实上，如果把角+180°加倍，就得到29+360°；和'x'相 交成这个角度的射钱和射畿'M重合. 試看图39左方的阴影图形-一所謂牛车面—一用函数 之=2变换后的图形是什么。.牛不面可以看作是由A点出发、 和Ac的傾斜角犬于9但小于p+180°的射钱塡滿面成的图 形。射钱AM和AP粗成尘平面的边界（一条直綫）：我两不 把这雨条射虥算在华平面以内。函数2'=2把牛本面内的所有射緩变换成从A出发井和A'x的傾斜角大于29但小于2p+360°的所有射袋. 由此可知，以射袋AM和AP作边界的半平面，变换成 以單独一条射綫A'M'作边界的图形（見图39右方）。变换成 的图形可以看作一个平面，但是它不包括射綫AM'.既然这 样說，我們就要証明，这个图形是由平面上除了在A'M'上的 以外的点組成的。如果在牛平面内任意取兩条射綫AQ和 AR,和A花的慎斜角分别等于1和p2(p2>P1),邢末它們的 45 ==========第45页========== 交角是a=一p1。函数2=22把这雨条射袋变换成'风和R′，它們和A'x的傾斜角分别是2p1和2gP。显然，角 Q'B等于2gp2-2p1=2(p2一gp1)-2C。 因此，以A作頂的角，用'=2变换以后，变成了原来的 雨倍，换句話說，就是映象在A点失去了保角性。 32。我們来証明，用z'=z2变换以后，以任何点≠0作頂的角都保持不变。由此可知，坐标原点是使以上变换失去保角性的唯一的点。 設工是一条从点o出发的任何曲钱、如果在工上取以外的任意一点1，那末联結0和的割袋的方向跟表示差数21一2的向量Q1一致（图40左方）.函数z'2把曲籛 五变换成某一曲綫工'，把点和21变换成在曲綫'上的新的点，'=202和1=12。显然，联結0和1的割綫的方向 跟表示差数21'一2'的向量Q0'Q1'一致.图40右方)。我們乘 北較这雨条割綾的方向：这只要此較向量1'一20'和1一。的 ,o 图40. 方向就行了、因为它們的交角是看作由向量1一20旋轉到向量1！一2。的角度的，它正好等于商数1一0'的幅角，所以脚 21d 46 ==========第46页========== 翘洗变战了计算Ag二。在商数二号里，可以代入31一0 21一21”，20=202、得到： e1'ーo212-202二21十0 1-20 31一0 以及 rg1二0=Arg(21十20) 21一20 因胱，曲畿'和L上通过对应点对20、1（工上的）和=22、 1=212(上的)的雨条割綫的交角等于Ag(21+)。从割 倦轉变到切綫，点1將沿曲袋L无限趋近点。 这时候，点1'=21也將沿曲綫'无限趋近点。=2.因此，这雨条割筏也就无限趋近从点2和2引出的丽条切綫，兩割綫的交角也就无限趋近两切畿的交角。但是雨割綫的交角等于Ag(20+),当21趋近0时，这个交角就趋近 Ag(22);Arg(22o)是和AIg2完全相同的。因此，从曲筏L'和工上的对位点，'=2和，引出的雨切餐的交角等于Arg0.例如，設使2。=2，那末Ag%0=0;因而知道，通过点2。=2的任 、意曲筏工在这一点的切畿，方向和L用函数=2变换以后 得到的曲钱'在点0'=。=4的切袋一致。設使2。=，那末 Arg%,=90°；因此，通过点0=元的任意曲綫工在这一点的切履，和映象曲綫'在点。2=2=一1的切殘互相垂直. 回到一般的情形，我們可以說，当通过点。的曲綫用函数2'=22作变换时，曲機在点，的切袋旋轉了一个等于Ag20的角。 現在就不潍难看出，为什么在这种变换里，以(2。≠0)作 頂的角度是不变的、。'設通过点有雨条曲筏工1和L2,它們 47 ・上yコー ==========第47页========== 在这-一点的交角是Q,这就是說，雨曲綫在点o的切綫的交角等于a。錾过变换以后，点20变换到点'=2。，曲綫1和L1 变换到L1'和I2'。新曲綫在点'的切綫的方向，可以从H曲 筏在点2，的切縵旋轉一个同样的等子Ag2的角度得到.显然，雨条新切綫間的角度仍旧是《。这正表明了，雨曲綫以任意点≠0作頂的灰角，用=2变换以后，大小是不变的。注意，我們用来証明保角映象2'=2的方法，对于其他函 数，例如锓性分式函数-二。或能科夫斯基函数x=日(？+工)也都适用。这里只是切镶旋轉的角度要用不同的式子来表示。例知，对于筱性分式函数，通过点。的曲钱在这一点 a-b 的砌寝旋搏的角度等于Ag(G。,而在儒科夫斯基函数的情形，这个旋鹅负度等于4g(1~).作的一种情形，必須附加集件0≠6（在点=b,分式二沒有意义）；在后一种情形，必须附加条件0≠0（理由同上），此外还得假設2o≠ ±1（在6=士1时，1-等于容：因此A喀(1-）沒有 意义)。可以驗証，儒科夫斯基函数在点一1和+1失去保角性：以这雨点作頂的角度，經过变换以后，扩大到原来的雨倍， 33.現在来看，通过点A的圓，用函数2'=2变换以后， 变换成什么。設圆在点A的切筏和Ax相交成角P(图41).显然，圓整个在以这条切袋作界餐的牛平面内。函数=22 把华平面变换成不包括射綫'M'的面、为了决定这个调 經过变换以后的象，在华面内从A尽可能引一些射綫，并 标出每一条射镘和圓周的交点。在我們的图上画了七条射 48 ==========第48页========== M 图41. 袋；所有的角，MAB1、B1AB2、B2AB、…B?AP都相等（等 于22号)、南数z=2把这七条射镜变换成另外七条射钱， 每雨条射襞的交角扩大到原来的雨倍；所有的角A'B]', B1'AB2'、B2''Bg'、…Br'P都等于45°. 我們来計算一下，点B1、B2、B、…B,变换到什么地方 1 去了。象点B1'、B2'、Bg'、…B'到点的距离，分别等于 AB1、AB2、AB8、…AB,的平方.但是从图41立刻看出，AB ◆ -AB:-4B,in2号°=Dim22号°(D是闽的直襁)：又4Bg=4B=Dsin45,AB=AB=D5in67日°，AB:-D.再要意，in22°-1-4°=2=互一g-1,41型2 4 =0.1464.…,sim*45=0.500,sim267号°=c09222寸=1-m2日”=0.65…因北，fa=R 母 ==========第49页========== =0.1464D2,A'B8'=ABg'=0.5000D2,A'Bs'=A'Bg'= 0.8535D,A'B4'=D.經过A'、B1'、B2'、Bg'、…Bm'这些点的曲畿，就是圓用岁=22作变换后的象。如果要得到它的更精确的形象，可以取更多的射綫。这种曲綫叫做心藏綫。容易看出，图41左方阴影部分表示的图形（由牛年面除去一圓得到的图形)，用函数=22作变换以后，变换成了图41右方阴影部分所表示的图形。后者是以心曦綫以及和实軸正方向成2p角的射綫作界筏的。可以証明，射綫AM的方向就是 和心曦綫的雨个班相切的由A点出发的切綫方向。在图41左 方，任意引射綫AB,B表示这射綫和圓的交点；如果角MAB =a,那末AB=D8ina.用函数公=2，这条射筏变换成射綫 A'B(图41右方)，点B的象点B落在心藏綫上.根据我們知道 的z=22变换的性質：MA'B=2a,A'B'=AB2-=Dgin2a.設角a在变动，并且无限趋近于零。那末AB和AM'的交角 2α也將无限趋近于露，而心懒袋的割籛一射袋A'B'將圍繞 着点A'轉勃，并且无限趋近极限位置A'M'。这时候，点B一一 制綫和心藏筏离A最近的一个交点，將无限趋近点A',因为当 a趋近于弄时，距A'B=D'sin2a也趋近于零。由此可知， ● 割袋的极限位置AM是孤A'B1'B:'…在点A'的切餐。同 样可以証明，'M也是弧A'B'B。'…在同一点A'的切綫。 34.最后，我們搏到儒科夫斯基函数-日口+})，并 且用它来变换由雨个圓凰成的图形：一个圓通过点一1和 十1，另一个圓在点1内切于前一个圓。图42的阴影部分表”示这个图形。 50 ==========第50页========== 先来证明，=(z+)变 奥可以化成儿个我們已經熟悉的、形式此較簡單的变换。为了达到这个目的，我們来研究一下一 分式.用受(+)来代替 z,得到： 图42. -1受(+)-1 +i哥+号)+1(只e2+1+2z 因此，从出=是(2子子)可以推出行=（引）只.反过来也 是正确的：从第二个式子可以推出第一个式子。事实上，从第 二个式子可以得到： -12()24(), 由此可得 1ー(21)2]=1+(}> 以及 1+()” (241)2+(2-12 (2+1)3-(2-1)2 3 -2-安(+. 于是，关系式8-宣(+子)和-（帚）院桑等价（从 这一个可以推出另一个)。 因此，儒科夫斯基函数=(z+）变換可以表示成=()严形式。雨种表示形式会得到阀样的精果。但z+1= 51 ==========第51页========== 是現在可以看出，从：轉变到z可以分三步实現。先从？轉变到輔助变数1，可以用公式： 21=2-1 十75 (1) 再从21轉变到22，根据公式： 2=212; (2) 最后，从2轉变到z’,根据公式： 3-一1 2'+1三22 (3) 讀者很容易明白，要是把公式(1)的表示，的式子代人公式(2)，再把得到的表示22的式子代人公式(3)，那就得到 了我稠器要的变换品=是识， 为什么要用(1)、(2)、(3)三个变换来代替一个儒科夫撕基变换呢？就是因为这三个变换个个比儒科夫斯基变换衡單，并且个个都是我們已經熟悉的。 于是，我們就来对图42上的图形作公式(1)的变换，再把得到的图形作公式(2)的变换，最后再把得到的图形作公式 (3)的变换。 回忆在第30节，我們已經知道，图38左方的图形（它和 图牡的图形一样)用函数4~品（就是闲数（①）*变瘓， 就变换成图38右方的图形。图38右方图形的边界是通过点 :O和实轴正方向相交成角的一条直綫，以及和这条直疑相 切于点O的一个周。这个图形可以看作是除去一个阗的牛华 面。这个图形再用函数=2（就是函数(2）)来变换。只要看一看图41，就知道这間題在第33节已經解决了。在第3352 ==========第52页========== 节末了我們骨儸指出，变换后应該得到图41右方的图形，它是以一个心職綫和一条射綫作界綫的图形。現在剩下来的， 就是把这个图形再作号一（就是函数(）的变换，在这 里，艺'可以看作是独立变数，2可以看作是函数。根据第28节蘼的，当22画出从原点出发、并和实軸正方向相交成角29的射綫A'M'时，对应点z'就会画出-一个联結点+1和一1的圓弧；这个圓孤在点+1的切綫，跟从点一1到点+1的方向，就是实軸的正方向，形成的角也是2p(图43)。· 29 图43 图44. 这样，我就得到了射接AM"”额过-变换后的 象。为要求得心饿袋的象，可以看看点B1'、B2'、…B'变换 到了什么地方。但是，我們不預备在这里作繁复的計算，只要能够作田变换得的曲袋的完整形状短图44就行了。 这个曲綫的形状象机凳横断面，就是冀型。这种翼型是俄国学者查普列金和儒科夫斯基首創的，因此叫做儒科夫斯基-查普列金翼型.改变圓在点+1的切綫的傾斜角（图42）和小圆牛徑，可以得到种种不同的翼型。特别在四是直角时，就是說，大圓以1到+1的綫段作直徑时，对应的翼型是和实轴对称的（图45）、这种翼型有时候也斗儒科夫斯基舵、 3 ==========第53页========== 图45. 儒科夫斯基一查普列金翼型是有关机翼的一切理論研究的基本翼型。 习·題 1。設雨个复数c1=1+bi和c2=2+b8相等，武証明它們的实部分和虚部分也分别相等：B1=g,b1=62。 提示表示相等复数的向量，一定最短相同、互相平行、并且方向一致。 2。应用加法和乘法的交换律、結合律和分配律，来完成下列的复数运算： 1。(3-7)+(-2+)+（-1+5) 2.(3-7(3+7@);3。(1+)(1+√3)4。(于1*；5.（要+号-）， 答：1。-；2.58；3.1-√3+(1+/3)；4。-135。一1. 3。对于任意复数c=a+b%≠0，骰它的稻对值等于分，馆角等于a,武証明： c=r(cos a+i sin a) 54 ==========第54页========== (复数的三角函数式)。 提示作一图，在图上c=6+m是用向量来表示的。靠图的帮助，用T和a来表示出a和b。 4。武証明：如果 ci=ri(cos ai+i sin a1),C2=T2(cos a2.+i sin a2),那末 CiC2=rir2Leos(a1+a2)+i sin (a1+az). 提示·利用复数乘法規則的儿何形式，或者用乘法和法規则，把c1和c2直接乘出来，再用和的正弦余弦的公式. 5。根据前一个习題的結果，来証明：知果 c=r (cosa+o sina) (r是c的絕对值，a是c的幅角)，那末 c=rm(cog na+i sinna) (乳是自然数)。并由此导出： (cosa十%sina)年=C03a十2inna (第美弗氏公式)。 6:用第美弗氏公式（見第5題），計算： 1.(竖+空)m,2.(√图+受). 提示+6经-cs4缩+8血5，爱+音= c0g30°+2sin30°， 著：1.-12.每t营 7。从第美弗氏式出发（見第5题），导出cos肌a和sin%a在n=2,3和4时的公式。 防 ==========第55页========== 提示在第美弗氏公式(c03a+sina)n=cos%a+%sina中，把cosa+ina的n大方直接乘出（例如，(co3a+8ina)2=c092a+2元sina c0sa-8in2a),然后再使第美弗氏公式等号双方的实部分和实部分相等、虚部分和虚部分相等就行了。 cos2a-cog a-sin2a siu 2a =2 sin acos a;cos a=cos3 a-3cosasin2a;'sin Ra=3 sin a cos2 a-sin3 a;cos 4acost a-6 coss a sin2.a tisint a;sin 4a =4 sin a co a-4 sin"a cos a. 8.以点0、1一、1+名作頂的三角形，怒过 =(绶+是)2 变换，粘果怎么样？这个变换的几何意义是什么？ 提示从探討几何意义着手.但是，也可以从計算变换得到的三角形的頂点着手。 9.以一1到+1的筏段作直徑并作实轴上方献半画，經过z=变换精果怎么样？ 答：变换成虚軸上牛部分和实軸负的部分圍成的直角。 I0。以坐标原点作頂的角a,經过名=23变换以后，变换成什么？ 答：变换成以坐标原点作頂的角3a。 56 ==========第56页==========